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<p>以“{{Hierarchy header}} 计量资料的频数分布有<a href="/%E9%9B%86%E4%B8%AD%E8%B6%8B%E5%8A%BF" title="集中趋势">集中趋势</a>和离散趋势两个主要特征，只有把两者结合起来，才能全面地认识事物，...”为内容创建页面</p> <p><b>新页面</b></p><div>{{Hierarchy header}}<br /> 计量资料的频数分布有[[集中趋势]]和离散趋势两个主要特征，只有把两者结合起来，才能全面地认识事物，通过例18.8可进一步说明这一问题。<br /> <br /> 例18.8 有3组同龄男孩体重（kg）如下，其平均体重x都是30（kg），试分析其离散趋势。<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> |-<br /> | | 甲组<br /> | | 26<br /> | | 28<br /> | | 30<br /> | | 32<br /> | | 34<br /> |-<br /> | | 乙组<br /> | | 24<br /> | | 27<br /> | | 30<br /> | | 33<br /> | | 36<br /> |-<br /> | | 丙组<br /> | | 26<br /> | | 29<br /> | | 30<br /> | | 31<br /> | | 34<br /> |}<br /> <br /> 虽然三组资料的均数相等，即集中趋势相同，但各组内数据参差不齐的程度（[[变异]]度）不同，也就是说三组的离散趋势不同。<br /> <br /> 描述一组同质计量资料离散趋势的常用指标有全、四分位数间距[[方差]]和[[标准差]]，其中方差和标准差最常用。<br /> <br /> == 一、全距（range）==<br /> <br /> 亦称极差，用R表示。全距是一组观察值中最大值与最小值之差，用于反映个体变异范围的大小。全距大，说明变异度大；反之，说明变异度小。如例18.8中乙组全距为12(kg)，比甲、丙两组8（kg）大，表明乙组变异度大。全距适用于任何分布的计量资料（末端无确切数值者除外）。<br /> <br /> 用全距来表达变异度的大小，简单明了，故曾广为使用。但它不能反映组内所有数据的变异度，如上述甲、丙两组变异度的差异就反映不出来；其更大的缺点是易受个别特大或特小数值的影响，往往样本越大，全距亦会越大。<br /> <br /> == 二、四分位数间距（quartile interval）==<br /> <br /> 四分位数间距是上四分位数Qu（即P75）与下四位数QL（即P25）之差，其间包括了全部观察值的一半，用Q表示。它和极差类似，数值越大，说明变异越大；反之，说明变异越小。四分位数间距比极差稳定，但仍未考虑到每个观察值的变异度。它适用于[[偏态分布]]资料，特别是分布末端无确定数据不能计算全距、方差和标准差的资料。<br /> <br /> 例18.9 求表18-4中数据的四分位数间距。<br /> <br /> QL=P25=12+12/58（164×25%-25）=15.3(小时)<br /> <br /> Qu=P75=24+12/40(164×75%-83)=36.0(小时)<br /> <br /> Q=Qu-QL=P75-P25=20.7（小时）<br /> <br /> == 三、方差（variance）和标准差（standard deviation）==<br /> <br /> 为了克服极差的缺点，需全面地考虑组内每个观察值的离散情况。因为组内每一观察值（亦称变量值）与总体均数的距离大小都会影响总体的变异度，故有人提出以各变量值离均差（X-μ）的平方和除以变量值的总个数N，来反映变异度大小，称为总体方差，用σ2示之。<br /> <br /> {{图片|gum5ne97.jpg|}}公式(18.10)<br /> <br /> 由式可见，各个离均差平方后，原来的度量单位变成了平方单位。为了用原单位表示而将总体方差开方，称为总体标准差。<br /> <br /> {{图片|gum5mug4.jpg|}}公式（18.11）<br /> <br /> 以上是总体方差和标准差。实际工作中经常得到的是样本资料，μ是未知的，只能用样本均数x来代替μ，用[[样本含量]]n代替N，按公式（18.11）算得的标准差常比σ小，美国[[统计学]]家W.S.Gosset提出用n-1代替n，求得样本标准差s，即<br /> <br /> {{图片|gum5n1mx.jpg|}}公式（18.12）<br /> <br /> 式中的n-1，在统计学上称为自由度（degree of freedom）<br /> <br /> 数学上可以证明离均差平方和Σ（X-x）2=ΣX2-（ΣX）2/n，故公式（18.2）可演变为：<br /> <br /> 直接法{{图片|gum5mwsz.jpg|}}公式（18.13）<br /> <br /> 加权法{{图片|gum5mz81.jpg|}}公式（18.14）<br /> <br /> 方差与标准差适用于对称分布，特别是正态或近似[[正态分布]]资料。<br /> <br /> 例18.10 试分别计算例18.8中组男孩体重资料的标准差。<br /> <br /> 甲组：n=5，ΣX=26=28+30+32+34=150<br /> <br /> ΣX2=262+282+302+322+342=4540<br /> <br /> 按式（18.13）<br /> <br /> {{图片|gum5n69t.jpg|}}<br /> <br /> 乙组：n=5，ΣX=150，ΣX2=4590<br /> <br /> {{图片|gum5n3w2.jpg|}}<br /> <br /> 丙组：n=5,ΣX=150,ΣX2=4534<br /> <br /> {{图片|gum5n8p2.jpg|}}<br /> <br /> 以上计算表明：S丙＜S甲＜S乙亦即乙组的变量度最大，甲组次之，丙组最小。<br /> <br /> 例18.11 求表18-2中110名20岁健康男大学生身高的标准差。<br /> <br /> 由表18-2，已知Σf=110，ΣfX=19000，再用第（2）栏乘第（4）栏后相加得ΣfX2。如本例，ΣfX2=163×163+165×660+……+183×366=3283646代入式（18.14）<br /> <br /> {{图片|gum5nbpy.jpg|}}<br /> <br /> == 四、标准差的应用==<br /> <br /> （一）表示观察值的变异程度（或[[离散程度]]）<br /> <br /> 1．在两组（或几组）资料均数相近、度量单位相同的条件下，标准差大，表示观察值的变异度大，即各观察值离均数较远，均数的代表性较差；反之，表示各观察值多集中在均数周围，均数的代表性较好。<br /> <br /> 2．若比较度量单位不同或均数相差悬殊的两组（或几组）观察值的变异度时，需计算[[变异系数]]（coefficient ofvariation用CV表示）进行比较，其计算公式为：<br /> <br /> CV= s/x×100% 公式（18.15） 公式(18.15)<br /> <br /> 式中s为样本标准差，x为样本均数。<br /> <br /> 例18.12 某地调查20岁男大学生110名，其身高均数为172.73(cm),标准差为4.09(cm)；其体重均数为55.04(kg)，标准差为4.10(kg)，欲比较两者变异度何者为大，宜先计算变异系数再比较。<br /> <br /> 身高CV=4.09/172.73×100%=2.37%<br /> <br /> 体重CV=4.10/55.04×100%=7.45%<br /> <br /> 由此可见，该地20名男大学生体重的变异度大于身高的变异度，说明身高这个指标比较稳定。<br /> <br /> （二）结合均数描述正态分布的特征和估计医学正常值范围，详见第三节。<br /> <br /> （三）结合样本含量n计算[[标准误]]，详见第十九章。<br /> {{Hierarchy footer}}<br /> {{预防医学图书专题}}</div>

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